函数的凸性

我做的毕设课题里涉及到了有关函数凹凸性的知识,在这里对它们的概念做个简单的总结

其实函数的凹凸性在微积分课程中是讲过的,但是当时学习的时候,它并没有给我留下较深的印象,也就是做题时会遇到诸如“讨论函数的凸性”之类的习题。尤其是它的应用,更是接触甚少,一个课时、一晚自习、一次考试碰个面,从此“老死不相往来”。而现在,又见面了。我学的高等数学教材里有这样一句话:

现代分析学、控制理论与最优化理论的发展使凸函数具有广泛的应用前景,并形成了分析学的一个新分支——凸分析。

我的毕设课题里就有这方面的问题,当时上网查阅资料时发现凹凸函数的定义竟然还有相反的!中国有些教材把concave定义为凸函数,把convex定义为凹函数,这让我有点恼火。

什么是凸函数、凹函数?

我理解的,其实就是对连续函数曲线的弯曲方向的一种形象化描述。教材里对它们的称呼就比较好——上凸函数、下凸函数,函数的凹凸性统一称为“凸性”,这样反而不容易混淆。但是,我还是想明确到底哪个是凹、哪个是凸,因为许多英文论文中还是严格区分的。

怎么区分?看函数曲线,如果函数曲线大概像一个正立着的碗,那么它就是凸函数;如果函数曲线大概像一个倒立着的碗,则为凹函数。即,凸函数是下凸凹函数是上凸。这似乎和我们的常识有悖,因为我们总习惯于将拱起来的部分叫做“凸”,而把陷下去的部分叫做“凹”。所以应该反着记,向下凹陷的反而是凸函数,向上拱起的反而是凹函数。另外,凸函数的英文名称是convex function,凹函数的英文名称是concave function

怎么定义?是通过观察来导出定义式的。对于凸函数,曲线上任意两点间的弧,总是位于连接这两点的线段的下方;对于凹函数,则相反。对这种位置关系的定量描述,就是函数凹凸性的定义。推导的过程这里不再给出,只给出结果。

凸函数的定义: 凹函数的定义:

其中,$0< t <1$,是参数。$t$在0到1范围内变化时,可以取遍弦上所有的点。为什么是这样一个形式,还出现了未知数$t$,因为“弦”的方程是用直线的参数方程去表达的。

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