带环链表

问题

如何判断一个链表是否有环?如果是,如何确定环的起点?

比如链表10->4->5->7->3->2,节点2指向节点5,这是一个有环的链表。

linked-list

如果把链表展开,就是10->4->5->7->3->2->5->7->3->2->...,其中5->7->3->2这个子序列不断重复,构成了「环」。5是环的起点,2是环的终点;环的长度是最短重复子序列的长度,或者说是最小正周期(这里等于4)。

分析

当然,一个容易想到的办法是维护一个Hash Table,每访问一个节点,就将其记录下来,第一次重复访问了某一个节点时,就说明链表有环,而且该点就是环的起点。然而建立哈希表需要额外$O(n)$的空间开销,下面要讨论的方法不但不损失时间效率,而且不需要额外的空间消耗。

相信不少人都知道快慢指针一说。用快慢指针,看他们能不能相遇嘛…可是,为什么快慢指针是可行的?为什么快指针的速度是慢指针的2倍而不是3倍、5倍?为什么2倍关系的快慢指针一定会相遇?怎么证明?如果不弄清这些问题,就算代码写出来了,也只能说处于「一知半解」的层面,理解代码背后的思想,才是主要的。

可以认为带环链表是一个无限长序列,只是这个序列有一部分是周期序列。用$x_i (i=0,1,2,\ldots)$表示这个无限长序列的第$i$个元素,用$\lambda$表示环的长度,并设$x_{\mu} (\mu \ge 1 )$是环的起点。则对所有的$i \ge \mu$,有下式成立:

其中,$k$是不小于0的整数。

特别地,当$i = k \lambda \ge \mu$时,有$x_i = x_{2 i}$。这就是「快慢指针」的来源,即如果链表有环,将一快一慢指针同时从头节点出发(注:如果认为序列下标从1开始,那么初始的慢指针在位置1处,而快指针在位置2处),慢指针每次向前走一步,快指针每次向前走两步,那么两个指针一定会在某一点相遇。而它们相遇的这个点,一定处于环的内部,并且与头节点的距离是环长度的整数倍。

记快慢指针相遇的这个点是$x_v$,一定有$v \ge \mu$且$v = k \lambda$。于是,寻找环的起点就不难了,因为起点$\mu$一定满足$x_{\mu} = x_{\mu + v}$。我们只要从头节点开始遍历链表,第一个满足这个等式的节点就是环的起点。

上面的方法就是所谓的Floyd’s cycle-finding algorithm。算法的时间复杂度是$O(\mu + \lambda)$,空间复杂度是$O(1)$。

算法实现(C++)

链表的数据结构定义如下:

class ListNode {
public:
    int val;
    ListNode *next;
    ListNode(int val) {
        this->val = val;
        this->next = NULL;
    }
}

首先,基于快慢指针相遇的原理,判断是否有环。如果有环,记录两个指针相遇的位置(也就是$x_v$)。链表的头节点记为head,则该过程的代码为:

ListNode *slow = head, *fast = head;
bool isCycle = false;
while (fast != NULL && fast->next != NULL) {
    slow = slow->next;
    fast = fast->next->next;
    if (fast == slow) {
        isCycle = true;
        break;
    }
}

其次,如果有环(即isCycletrue),则一个指针从头开始,另一个从$x_v$开始,同时以相同的速度往前移动,每次都移动一步。当两个指针相遇时,位置就是环的起点。

ListNode *u = head, *v = slow;
while (u != v) {
    u = u->next;
    v = v->next;
}

综上,整个链表环路检测的函数如下所示。如果链表无环,返回NULL ;否则返回环的起点。

ListNode *detectCycle(ListNode *head) {
    if (head == NULL) {
        return NULL;
    }

    ListNode *slow = head, *fast = head;
    bool isCycle = false;
    while (fast != NULL && fast->next != NULL) {
        slow = slow->next;
        fast = fast->next->next;
        if (fast == slow) {
            isCycle = true;
            break;
        }
    }
    
    if (isCycle) {
        ListNode *u = head, *v = slow;
        while (u != v) {
            u = u->next;
            v = v->next;
        }
        return u;
    }
    return NULL;
}

另外,如果还要求环的长度(最小正周期),由于已经知道了环的起点,只要从它开始遍历,找到第一个等于起点的位置即可,最多还需要$O(\lambda)$的时间。

相关练习

Linked List Cycle

Linked List Cycle II

参考

  1. Wikipedia, Cycle detection, https://en.wikipedia.org/wiki/Cycle_detection
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Categories: 算法 Tags: 链表 数学