函数的凸性

我做的毕设课题里涉及到了有关函数凹凸性的知识，在这里对它们的概念做个简单的总结。

其实函数的凹凸性在微积分课程中是讲过的，但是当时学习的时候，它并没有给我留下较深的印象，也就是做题时会遇到诸如“讨论函数的凸性”之类的习题。尤其是它的应用，更是接触甚少，一个课时、一晚自习、一次考试碰个面，从此“老死不相往来”。而现在，又见面了。我学的高等数学教材里有这样一句话：

现代分析学、控制理论与最优化理论的发展使凸函数具有广泛的应用前景，并形成了分析学的一个新分支——凸分析。

我的毕设课题里就有这方面的问题，当时上网查阅资料时发现凹凸函数的定义竟然还有相反的！中国有些教材把concave定义为凸函数，把convex定义为凹函数，这让我有点恼火。

什么是凸函数、凹函数？

我理解的，其实就是对连续函数曲线的弯曲方向的一种形象化描述。教材里对它们的称呼就比较好——上凸函数、下凸函数，函数的凹凸性统一称为“凸性”，这样反而不容易混淆。但是，我还是想明确到底哪个是凹、哪个是凸，因为许多英文论文中还是严格区分的。

怎么区分？看函数曲线，如果函数曲线大概像一个正立着的碗，那么它就是凸函数；如果函数曲线大概像一个倒立着的碗，则为凹函数。即，凸函数是下凸，凹函数是上凸。这似乎和我们的常识有悖，因为我们总习惯于将拱起来的部分叫做“凸”，而把陷下去的部分叫做“凹”。所以应该反着记，向下凹陷的反而是凸函数，向上拱起的反而是凹函数。另外，凸函数的英文名称是convex function，凹函数的英文名称是concave function。

怎么定义？是通过观察来导出定义式的。对于凸函数，曲线上任意两点间的弧，总是位于连接这两点的线段的下方；对于凹函数，则相反。对这种位置关系的定量描述，就是函数凹凸性的定义。推导的过程这里不再给出，只给出结果。

凸函数的定义： \(f(t x_1+(1-t) x_2) < tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\) 凹函数的定义： \(f(t x_1+(1-t) x_2) > tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\)

其中，$0< t <1$，是参数。$t$在0到1范围内变化时，可以取遍弦上所有的点。为什么是这样一个形式，还出现了未知数$t$，因为“弦”的方程是用直线的参数方程去表达的。